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X^n+Y^n=Z^nを、X^n=(Y+m)^n-Y^n…(1)とおく。X,mは整数とする。
X^n=(Y+1)^n-Y^n…(2)を検討する。
X=2のとき、2^n=r^n-s^n…(3)となる。r,sは無理数。
(3)の両辺に(X/2)^nを掛けて、右辺に適当な数Mを足して引くと、
X^n=[{(X/2)^n}r^n+M]-[{(X/2)^n}s^n+M]となり、
X^n=P^n-Q^n…(4)が得られる。P,Qは無理数。
もし、X=2以外のとき、P,Qが有理数となるならば、逆算すると、
2^n=(有理数)^n-(有理数)^n…(5)となり、(3)と矛盾することになる。
∴n≧3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,mは有理数とする。
2^n=(t+1)^n-t^nのtが有理数のとき、右辺は偶数とならない。よって、tは無理数。
(1)は(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/2)^n,uは無理数。
(2)はu-u=0より、{(t+1)^n}k,(t^n)kが無理数となるので、xは無理数となる。
∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^2+y^2=z^2をy^2=(x+m)^2-x^2…(1)と変形する。yは整数,mは有理数とする。
2^2=(t+1)^2-t^2のtは有理数となる。
(1)は(2^2)k=[{(t+1)^2}k+u]-{(t^2)k+u}…(2)となる。k=(y/2)^2,uは有理数。
(2)はu-u=0より、{(t+1)^2}k,(t^2)kが有理数となるので、xは有理数となる。
∴n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を無数に持つ。
もしあればオイラーが見つけている。