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\cos\frac{2\pi}{4}=0,\quad \sin(697\pi)=0
なので
I=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n^2+2n}
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n(n+2)}
\frac2{n(n+2)}=\frac1n-\frac1{n+2}
よって望遠和で
I=1+\frac12=\frac32
また、
y=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\cdots}}}
とすると
y^3=xy
y=\sqrt{x}
したがって
A=\frac14\int_0^{3/2}(x+2)^2\sqrt{x}\,dx
計算すると
A=\frac{3597\sqrt6}{3360}
\boxed{\ln\frac{27}{2}}
\boxed{\frac{3597\sqrt6}{3360}}
「・・・」